[대학 미분적분학] 1. 함수 - (2)합성함수와 역함수

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저번에는 함수의 기본적 정의와 종류에 대해 알아보았다면 이번에는 좀더 다중적이고 깊이 들어가서 합성함수와 역함수에 대해 알아보도록 하겠습니다 사실 대학 미적분학에서 미분학 단원은 중,고등학교의 미적분 내용에 크게 심화된 부분은 없어서 가볍게 알고 넘어가면 좋을것 같습니다.

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[합성함수]

(1)정의: 두 함수 $f:X\longrightarrow Y   ,   g: Y \longrightarrow Z$가 주어져 있을 때, X의 임의의 원소 x에 함수 f에 의해 Y의 원소 y가 대응하게 되고, 다시 이 y를 함수 g를 통해 Z의 원소 z에 대응시킬 수 있습니다.

이를 통해 우리는 x를 함수를 태워 y와 매칭시키고 이 y를 또 다른 함수에 태움으로써 z와 매칭시키게 되면서

결론적으로 x와 z를 매칭시키게 되고 X를 정의역 Z를 공역으로하게 되는 새로운 함수를 만들게 됩니다

그리고 이때 f,g라는 함수에 각각 태운것 이므로 우리는 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 이야기 하게 되며 기호로는 

$g \circ f$  로 표기하며   ($g \circ f$)(x)  = g(f(x))  이렇게도 나타낼 수 있습니다

 

정성적이해(쉬운이해): 합성함수는 제가 저번에 시간에 함수=공장 이라고 언급했듯이 재료를 일정한 레시피에 따라 결과로 만들어주는 것이 바로 함수인데 이 과정을 2번 이상 했다고 보면 될것 같습니다 처음의 재료 x를 f라는 함수 즉 공장에 넣어서 y라는 결과를 얻었으며 이 y를 또 다시 재료로 하여 g라는 함수에 태워 z라는 결과를 얻어낸 것 입니다. 이때 결론적으로 x라는 친구가 z라는 친구로 변환,대응 되게 되었으니 이 과정을 하나로 묶어 합성함수라는 용어로 표현한 것 입니다.

 

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[역함수]

(1)정의: 함수  $f:X\longrightarrow Y$ 가 일대일 대응일 때, Y의 임의의 한 원소에 X의 원소가 하나씩 대응하게 되고 결국

Y에서 X로의 함수 또한 만들 수 있게 되며. 이때 이 함수를 f의 역함수라고 일컫으며 기호로는 $f^-1$로 나타내게 됩니다.

 

좀더 간단히 기호적으로 생각해 본다면

 

$y=f(x)  \Leftrightarrow x  = f^{-1} (y)$  

 

와 같이 표현할 수 있게 됩니다

 

[역함수가 존재할 조건]

역함수가 존재할 조건은 고등학교 과정이든 대학과정이든 동서고금(?)을 막론하고 정말 중요한 내용입니다.

우선 먼저 결론부터 이야기 하자면 역함수가 존재할 조건은 

 

함수 $f$가 일대일 대응일 때, 역함수  $f^{-1}$가 존재한다

 

입니다

 

정성적이해(쉬운이해):원리를 언급하자면 이렇습니다. 역함수라는 개념은  함수라는 공장에서 x라는 재료를  y라는 결과로 만들었을때 이 y라는 결과를 다시 x라는 재료로 되돌릴 수 있는 과정을 의미합니다 그런데 왜 본 함수가 일대일 대응이었을때만 역함수가 존재하느냐 라고 한다면 좀 정성적인 표현을 빌리자면 재료와 결과물 사이의 관계가 명확하기 때문입니다. 앞선 글에서 제가 일대일 함수의 예시로 y=2x+1이라는 함수를 예시로 들었는데 이 함수에 x=3 이라는 재료를 넣으면 y=7이라는 결과물이 나오게 됩니다. 그런데 7을 만들어낼 수 있는 x는 지금 이 함수(y=2x+1)에선 유일하게 3이라는 값 밖에 존재하지 않고 다른 x,y값들의 관계도 마찬 가지 입니다(y=5를 만들어내는 x는 2밖에 없는 등). 이렇기에 반대로 그러면 요 함수 y=2x+1을 잘 활용 및 변형해서 반대로  7에서 3으로 다시 보내 버릴 수 있는 함수 즉 역함수라는 것을 새로 만들어 내 볼 수 있다는 것입니다. 근데 어쩔때만 이걸 만들 수 있다? 바로 이 y=2x+1 처럼 기존 함수가 일대일 대응이었을때만 이게 가능하다는 것입니다.

그럼 역함수가 만들어질 수 없는 함수의 대표적인 예시는 뭐가 있을까요? 저번 포스팅에서도 잠깐 언급한 $y= x^{2}-1$과 같은 함수가 그 예시가 될 수 있습니다. 저번 포스팅에서도 언급했듯이 이 함수는 일대일 대응 및 함수가 아니며

이 함수는 -1이랑 +1이라는 값을 넣으면 똑같이 결과물로 y=0이라는 값이 나오게 되는데 그럼 위에서 얘기한 과정대로 역함수를 고안하려 해보니 0이라는 값을 나오게 하는 x가 -1 +1이라는 값 둘다 될 수 있으므로 원소가 하나씩 대응해야 한다는 함수의 기본정의를 무시함은 물론 이렇게 간단히 생각해봐도 -1 or +1이라는 특정되지 않는 불확실한 값을 내포하므로 이런 함수들은 역함수를 가질 수 없게 되는 것입니다.

 

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[역함수를 구하는 방법과 역함수의 기하학적 의미]

 

(1)역함수를 구하는 방법

역함수를 구하는 방법은 크게 3단계로 구분할 수 있습니다

 

1단계: 일대일 대응인지 우선 확인 

2단계: 함수에 표현된 x를 y로 y를 x로 바꾸기

3단계: 그 다음 y에 대한 식으로 정리하기

 

[example]

함수 $y= 2x+1$을 역함수로 만들어 보기

 

[solution]

y=2x+1은 일대일 대응이므로 역함수가 존재합니다 

 

그 다음 위의 2단계 과정을 따라 x값을 y로 y값을 x로 바꾸면 됩니다

$y= 2x+1   \longrightarrow   x=2y+1$

 

그 다음 3단계 과정을 통해 이렇게 나온 식을 y에 대한 식으로 몰아 정리해 줍니다

$x=2y+1$    $\longrightarrow$         $x-1=2y$        $\longrightarrow$      $\frac{x-1}{2} =y$

 

(2)역함수의 기하학적 의미

 

역함수가 존재할때 역함수의 그래프는 본 함수의  $y=x$에 대하여 대칭인 형태의 그래프로 나타납니다

 

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[합성함수와 역함수의 성질]

 

하단에는 시험문제에 자주 출제되고 활용되는 합성함수와 역함수의 기본적 성질에 대해 작성해 보고자 합니다.

 

$(f \circ g)(x)  \neq (g \circ f)(x)$
 

$( f^{-1})^{-1} (x)=f(x)$

 

 $f^{-1}(f(x))=x$  ,  $f( f^{-1}(x))=x$ 

 

$(f \circ g)^{-1} (x) = ( g^{-1}  \circ  f^{-1})(x)  $