[대학 미분적분학] 1. 함수 - (1)함수의 정의

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편입수학,미분적분학, 대학 미분학

 

 

이제 부터 대학수학에 대한 포스팅을 좀 해보려고 합니다...

 

누구한테 알려주는 지식공유도 될까 싶지만 무엇보다 복습을 안하면 까먹을것같은 두려움에 이렇게라도 나마 복습하기 위해 포스팅을 해보려고합니다...

 

 

미분학의 제일 첫 장은 함수라는 수학적 용어와 과정에 대해 정의를 하는 것으로 시작합니다 

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[함수(function)]

(1)정의: 공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 있어서 X의 각 원소에 Y의 원소가 각각 하나씩 대응할 때 이 대응을 "X에서 Y로의 함수"라 하고, 문자를 써서 나타내게 됩니다 이때 Y를  특정 함수에 대한 x의 상(a.k.a 함숫값 or images)라고 하며 만약 특정 함수를 기호 f나 g따위로 표현하게 된다면 이 함수를 우리는 아래와 같이 표기할 수 있습니다

 

(2)표기법: y = f(x)  /  f: x -> y 

 

정성적 이해(쉬운 이해): 중,고등학교때 까지는 우리는 함수라는 것을 그냥 y가 등장하고 이것을 x에 대해 표현하는 느낌(?)으로 배웠지만 좀더 수학의 기능적 의미로써 초점을 두자면 함수는 일종의 공장이라고 표현하는 것이 좋을 듯 합니다. 이 공장에 어떤 시스템을 설정해 놓으면 이 공장에 재료를 넣었을때 그 시스템에 따라  특정한 결과물을 내놓는 것으로 말입니다 예를 들자면, y=2x+1 이라는 기본적인 일차 함수가 있다고 본다면 우리는 이 일차 함수 공장에 x에  3이라는 숫자를 넣으면 이 함수 공장이 이에 2배를 해주고 여기에 1을 더한 값인 7이라는 결과물을 만들어줍니다 여기에 우리는 교육과정을 거치며 고차 함수는 물론 초월함수(삼각,지수,로그 등)을 배우며 수없이 많은 공장들이 있다는 것을 알고 있으며 지금도 공학분야에서 무엇인가를 계측,설비,계산할때 이 수많은  함수라는 도구들을 기본중의 기본으로 활용하며 과학 기술과 인류 삶의 질을 높이는 산출물에 적극적으로 우리는 활용하고 있습니다 또한 대학선형대수학을 배우게 되면 우리는 선형사상에 대해 배우게 되는데 이러한 선형사상 또한 좀더 차원적 의미에서 함수의 기능과 매핑됨으로써 나중에 선형대수학 포스팅에서 이에 대해 언급해보도록 하겠습니다

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[함수의 정의역,공역,치역]

함수 f: X -> Y가 있을 때, X를 f의 정의역, Y를 f의 공역이라 하고,  x $(x \in X)$의 상 전체의  집합  

$f(x) | x \in X$를 f의 치역이라 하며, f(X)로 나타낸다. 이때, 치역 f(X)는 Y의 부분집합입니다

 [예시]

f: X-> Y에서 f가 특정한 함수일때

 

1.정의역  :  {-1 ,0 ,1}

2.공  역    :  {-1, 0, 1}

3.치  역    :  {-1  ,   1}

 

 

 

정성적 이해(쉬운 이해): 과거 함수를 배우며 정의역,공역,치역에 대해 배우게 될때 저는 정의역은 잘 납득이 되었는데 공역과 치역의 차이를 잘 구분하지 못했던 기억이 납니다.. 물론 처음 배울땐 개념 정립이 잘 안되다보니 이 둘의 컨셉 자체가 크게 구분이 잘 안갈 수 있긴하지만 이 둘은 많은 분들이 아시다시피 명백한 차이가 있는 개념들이며 공역은 쉽게 말해 '함수가 이어주는 도착지' 이라는 개념으로 볼 수 있습니다 하지만 치역은 그 도착지 안에서 실제로 정의역의 원소와 1대1 매칭이 이루어진 친구라고 보면 됩니다.  좀더 쉬운 예시를 들어보겠습니다 가령  미국에서 우리나라로 공간이동 시켜주는 마법이 있다고 가정해 봅시다. 이때 이 마법은 우리가 계속 배운 함수라고 보면 됩니다.  그런데 이 마법이 조금 특이하고 구현이 좀 덜 되서 특정 도시만 매칭이 된다고 합니다  미국의 뉴욕에서 마법을 쓰면 서울로 이동하고 L.A에서 마법을 써도 서울으로 이동하는데  워싱턴에서 마법을 쓰면 이때는 부산으로 온다고 합니다 그러면 이때  정의역은 { 뉴욕, LA, 워싱턴} 이 되고 공역은 도착지인 한국 전체 즉,{서울, 부산 ,대전 기타 등등 모든 지역}이 되는데 치역은 이들 중 실제로 매칭이 되는 도시인  {서울,부산}이 되는 것 입니다. 

                                             

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[함수의 종류]

함수의 종류로는 구분에 따라 수많은 종류가 있지만 고등학교 교육과정 이후부터 주로 언급되는 종류는 

일대일 함수,일대일 대응,항등 함수,상수 함수  등이 있습니다

 

(1)일대일 함수

기본 정의: X의 임의의 두 원소 x1,x2에 대하여 $x1 \neq x2$ 이면 $f(x1) \neq f(x2)$ 일 때 우리는 일대일 함수라고 합니다

 

(2)일대일 대응

기본 정의: 위의 일대일 함수의 조건을 만족하면서 여기에 치역=공역이 같을때 우리는 일대일 대응이라고 합니다

 

(3)항등 함수

기본 정의: 일대일 대응이면서 정의역과 공역이 같고 정의역의 각 원소와 매칭된 공역(일대일 대응이므로 치역도 맞는 표현)의 원소가 완전히 똑같은 함수 입니다

 

(4)상수함수

기본 정의:치역이 하나의 원소로만 이루어져있고 정의역의 모든 원소가 이 치역의 하나의 원소로 매칭이 된 함수입니다

 

 

정성적 이해(쉬운이해): 역시 수학은 개념을 배울때 위에 바로 써져있는 것 처럼 글로 주어진 정의로만 처음 공부하는 것은 비효율적인 방법이라고 생각합니다 아래의 그림을 예시로 보자면 우선 일대일 함수와 일대일 대응을 잘 구분 짓는것 부터 고등학교때부터 이어져온 주요 이슈가 될 것 같습니다 우선 일대일 대응은 일대일 함수이면서 좀더 까다로운 친구라는 인식부터 가져가야 합니다  일대일 함수가 직사각형이라면 일대일 대응은 정사각형인 느낌입니다...  정사각형이 직사각형의 조건을 충족하면서도  좀 더 조건이 까다로운 사각형인 컨셉이니까요 우선 일대일 함수는 이름에 일대일 이라는 중요한 표현이 쓰여진 것이 힌트입니다 즉 일대일 함수라는 칭호를 얻으려면  정의역의 원소가 서로 다를때 이 원소들을 함수를 태워보내서 나온 결과(즉 치역)도  서로 달라야한다는 것입니다.  위에서 제가 함수를 공장과 같다고 표현을 하였는데 이를 또 다시 인용하자면  y=2x+1이라는 함수 공장에 x에 2를 태우면 5가 나오고 3을 태우면 결과로 7이 나옵니다 즉 넣은 재료가 모두 다르면 결과도 겹치는 거 없이 다 다르게 나올때 우리는 일대일 함수라고 부를 수 있다는 것입니다 그러면 다른 예시를 들어보겠습니다 $y=1-x^2$라는 함수에 우리는 -1을 넣어도 +1을 넣으면 결과가 0으로 동일합니다. 이러면 이 함수는 일대일 함수가 아니게 되는 것이죠 -1과 +1은 엄연히 다른 숫자인데 이 함수에 넣었더니 0이라는 동일한 값이 나왔으니  '재료가 다르면 결과도 달라야 한다' 라는 일대일 함수의 기본 룰에 어긋나는 겁니다. 

그리고 또한 이런 일대일 함수의 개념은 나중에 선형대수학에서 '선형성' 이라는 개념을 학습하는데도 중요한 요소가 되므로 완벽히 이 컨셉을 이해하는 것이 좋을 것 같습니다. 이렇게 일대일 함수의 컨셉이 받아들여졌다면 여기서 일대일 대응을 이해하는것은 그다지 어렵지 않습니다 일대일 함수의 이러한 조건을 만족하면서 치역=공역 이기만 하면 일대일 대응이 완성됩니다.

항등함수는 재료(정의역 원소)와 결과(치역=공역 원소)가 그냥 같은 값이며 상수함수는 어떤 재료(정의역 원소)를 함수에 태워 보내도 항상 같은 값만 내보내는 함수를 일컫습니다!