[대학 미분적분학] 1. 함수 - (3)여러 가지 함수[삼각함수]

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(1)삼각함수

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#들어가기 전에

이번 단원은 원리나 개념을 받아들이기보다 암기 위주의 학습이 중요한 단원인 것 같습니다

 

[60분법과 호도법]

(1)호도법의 정의: 반지름의 길이가 r인 원에서 길이가 r인 호에 대한 중심각의 크기를 1rad(라디안)이라 하고, 

                             이 rad을 단위로 각을 나타내는 것을 우리는 호도법 이라고 합니다

 

(2)호도법과 60분법의 관계 :  $1rad \approx 57.29^{ \circ }$  ,  $1(rad)  \times   \pi = 180^{ \circ }$ 

 

(3)60분법과 호도법의 상호 변환 공식:   $30^{ \circ } = \frac{ 180^{ \circ } }{6} =  \frac{ \pi }{6}$   

                                                           

                                                               $45^{ \circ } = \frac{ 180^{ \circ } }{4} =  \frac{ \pi }{4}$

 

@즉, $\pi= 180^{ \circ }$ 라고 생각하면 정말 편하며 그러나 일반적으로 호도법에서의 단위 rad은 잘 표기하지 않기 때문에 옆에 보이지 않을뿐  $\pi= 180^{ \circ }$에서의 180도가 단위가 아예 안붙은 파이 3.14와 똑같다는 것은 절대 아닙니다

 

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[삼각함수의 정의]

(1)정의: 좌표 평면 상에서 동경 OR가 x축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta $라고 할 때,  $\theta$에 대한 삼각함수를 다음과 같이 정의합니다

 

 

$sin \theta  =  \frac{y}{r}$       $cos \theta  =  \frac{x}{r}$   

 

 

 

$tan \theta  =  \frac{y}{x}$      $csc \theta  =  \frac{r}{y}$ 

 

 

 

$sec \theta  =  \frac{r}{x}$     $cot \theta  =  \frac{x}{y}$ 

 

 

 

 

(2)삼각함수의 여러가지 관계 및 공식

 

 

$csc \theta  =  \frac{1}{sin\theta}$      ,       $sec\theta  =  \frac{1}{cos\theta}$        ,        $cot\theta  =  \frac{1}{tan\theta}$        

 

 

$tan\theta  =  \frac{sin\theta}{cos\theta}$                      $cot\theta  =  \frac{cos\theta}{sin\theta}$    

 

 

  $sin^{2}\theta + cos^2\theta=1$                      $1+tan^2\theta =sec^2\theta$                          $1+cot^2\theta=csc^2\theta$

 

 

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[삼각함수의 그래프 1]

 

사진 출처:https://www.mathfactory.net/11255

 

 

#사인 함수는 주기가 $2\pi$이며 기함수의 성질을 띱니다

#코사인 함수는 주기가 $2\pi$이며 우함수의 성질을 띱니다

#탄젠트 함수는 주기가 $\pi$입니다

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[삼각함수의 음각,보각,여각 공식과 상호 변환]

 

삼각함수의 음각,보각,여각 공식은 주어진 삼각함수의 값을 다른 삼각함수로 변환하기 위해 사용됩니다! 그 두 값이 의미하는 수치는 같지만 계산이나 혹은 공식 적용 또는 변환에 있어서 유용하게 활용하거나 편리하게 계산하거나 특정 문제를 해결하기 위해 우리는 이 매커니즘을 활용하게 됩니다 이 설명은 타이핑으로 하기 조금 어려워서 필기를 활용해 설명해 보고자 합니다.

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[삼각함수의 그래프 2]

 

아래는 삼각함수 그래프의 특징에 대해 정리해 본 표입니다

	y=sinx	y=cosx	y=tanx
(1)정의역	실수 전체	실수 전체	$x \neq  n\pi +  \frac{\pi}{2}$ (n은 정수)인 실수 전체의 집합
(2)치  역	{$y| -1 \leq  y  \leq 1$}	{$y| -1 \leq  y  \leq 1$}	실수 전체
(3)주  기	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
(4)성  질	기함수	우함수	기함수

 

※추가로 알아두면 더욱 좋은 삼각함수 그래프 특징※

 

삼각함수	최댓값	최솟값	주기
$y=asin(bx+c)+d$	$|a| + d$	$-|a| + d$	$\frac{2\pi}{|b|}$
$y=acos(bx+c)+d$	$|a| + d$	$-|a| + d$	$\frac{2\pi}{|b|}$
$y=atan(bx+c)+d$	존재하지 않음	존재하지 않음	$\frac{\pi}{|b|}$

 

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[삼각함수의 덧셈정리와 여러 가지 공식 ]

 

아래의 공식들은 삼각함수 관련 문제를 풀때 매우 유용하게 사용할 수 있는 공식들 입니다 

 

(1) 덧셈 정리

 

 

$sin(\alpha  \pm  \beta) = sin \alpha cos \beta  \pm cos \alpha sin \beta$

 

 

$cos(\alpha  \pm  \beta) = cos \alpha cos \beta  \mp sin \alpha sin \beta $

 

 

$tan(\alpha  \pm  \beta) =  \frac{tan \alpha  \pm tan \beta}{1 \mp tan \alpha tan \beta} $ 

 

 

 

(2) 2배각 공식

 

 

$sin2 \alpha   =  2sin \alpha cos \alpha$     

 

 

 $cos2 \alpha    =   cos ^{2} \alpha - sin^{2} \alpha   =   2 /cos^{2} \alpha -1   =   1-2 \sin^{2} \alpha$

 

 

$tan2 \alpha =  \frac{2tan \alpha }{1- tan^{2} \alpha  }$    

 

 

 

 

(3)반각공식

 

 

$sin^{2}  \alpha = \frac{1-cos2 \alpha }{2}$   

 

 

 

$cos^2 \alpha = \frac{1+cos2 \alpha }{2}$ 

 

 

 

$tan^2 \alpha  = \frac{1-cos2 \alpha }{1-tan^2 \alpha }$ 

 

 

 

(4)곱셈형태를  합, 차 형태로 변형하는 공식

 

 

 

$sin \alpha cos \beta = \frac{1}{2} [{sin( \alpha + \beta )+sin( \alpha - \beta )} ]$

 

$cos \alpha sin \beta = \frac{1}{2} [{sin( \alpha + \beta )-sin( \alpha - \beta )} ]$

 

$cos \alpha cos \beta = \frac{1}{2} [{cos( \alpha + \beta )+cos( \alpha - \beta )} ]$

 

$sin \alpha sin \beta = -\frac{1}{2} [{cos( \alpha + \beta )-cos( \alpha - \beta )} ]$

 

 

 

(5) 합,차 형태를 곱셈형태로 변형하는 공식

 

 

 

$sin \alpha +sin  \beta =2sin \frac{ \alpha + \beta }{2}cos \frac{ \alpha - \beta }{2} $

 

 

$sin \alpha -sin  \beta =2cos \frac{ \alpha + \beta }{2}sin \frac{ \alpha - \beta }{2}  $

 

 

$cos \alpha +cos  \beta =2cos \frac{ \alpha + \beta }{2}cos \frac{ \alpha - \beta }{2}  $

 

 

$cos \alpha -cos  \beta =-2sin \frac{ \alpha + \beta }{2}sin \frac{ \alpha - \beta }{2}  $