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[행렬의 정의]
$ A= \begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} =a_{ij} $ 을 m x n 행렬이라고 한다면
여기서 가로줄은 행 세로줄은 열이라고 일컫게 됩니다.
좀더 수학적으로 정의하게 된다면
$a_{i1} , a_{i2},a_{i3}, \ldots , a_{in} (1 \leq i \leq m)$ 을 행(Row)
$a_{1j} , a_{2j},a_{3j}, \ldots , a_{mj} (1 \leq j \leq n)$ 을 열(Column)
이라고 부르게 됩니다. 좀 더 쉽게 이해해 본다면
다음과 같이 이해를 하면 되며 위의 색깔로 묶인 단위들은 각각 1행(빨간색) 1열(파란색)이라 부르며
2행 3행은 빨간색 표식 처럼 가로로 묶는건 유지하되 바로 밑줄을 가로로 묶었을때 2행 또 그다음 밑줄을 가로로 묶었을때 3행이라고 부르게 됩니다 2열 3열은 마찬가지로 세로로 묶었을때 1열 바로 오른쪽을 세로로 묶을 때를 2열 또 그다음 오른쪽을 세로를 한번에 묶었을때 3열이라고 일컫습니다
간혹 행,열을 표현할때 화살표를 곁들여서 하단과 우측으로 뻗는 모양의 그림설명이 있는 경우가 있는데
비록 행 열의 명칭의 증가 방향을 나타내기 위한 것은 맞으나 이는 원초에 행,열 개념을 배울때 오히려 헷갈림을 증폭시킬 수 있는 설명인 것 같습니다. 처음 행,열 개념을 배울땐 위 그림처럼 외우는 것이 좋을것 같습니다.
(1) 행렬의 원소(성분)
행렬의 i행과 j열의 교차점에 위치해 있는 성분을 우리는 그 행렬의 ( i , j ) 성분이라고 부르며
기호로는 $ a_{ij} $로 표현합니다
(예)
행렬 $A=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$ 의 2행 1열의 교차점에 위치해 있는 성분은
A의 (2,1)성분이라고 부르고 여기서는 c를 의미하게 되는 것 입니다
(2)정방행렬(정사각형 행렬)
행의 개수와 열의 개수가 같아 행렬 자체가 정사각형 모양을 이룰때 우리는 정방행렬이라고 합니다
즉 가로로 배치된 원소 세로로 배치된 원소의 개수가 모두 같은 것이며 수학적으로는
위에서 작성한 행렬의 표현에서 m=n일 때를 일컫습니다.
이에 더나아가
가로 2개 세로 2개 일때도 정방행렬(2x2 행렬)이고 가로 3개 세로 3개일때도 정방행렬(3x3 행렬)이므로
n차 정방행렬 이라는 용어로 세부적인 구분을 짓게됩니다
즉,
행과 열 모두 2개인 행렬 (a.k.a 2차 정방행렬)
행과 열 모두 3개인 행렬 (a.k.a 3차 정방행렬)
(3)대각원소
행렬에서 1행 1열의 원소를 기준으로 우하향 하는 방향에 배치된 (즉, 대각선 모양으로 나열된) 원소들을 우리는 대각원소라고 일컫습니다. 이러한 대각 원소들을 따로 용어를 정의를 해놓은 이유는 이러한 대각 원소들은 추후 배우게 될 행렬간의 연산이나 해당 행렬의 컨셉과 성질을 나타내는데 어느정도 일조를 하는 어느 정도 특수한 친구들이기 때문입니다
수학적으로는 $a_{11} , a_{22} , a_{33} \cdots ,a_{nn}$ 인 원소들을 대각원소라고 일컫게 되며 반드시 정방행렬에서만 대각원소를 따질 수 있는 것은 아닙니다
위의 그림처럼 붉은색으로 마킹된 부분들을 우리는 대각원소 라고 일컫습니다.
(4)TRACE
대각원소의 개념에 대해 공부했다면 TRACE의 정의도 같이 학습하면 좋습니다!
TRACE는 특정한 정방행렬 A가 있다면 이 정방행렬의 대각원소를 모두 합한 것을 의미합니다
이 TRACE라는 개념 또한 굳이 등장한 이유는 후에 배울 케일리 해밀턴 정리나 기타 행렬 연산 혹은 고유치와 관련해서도
중요하게 활용되기 때문입니다
그리고 특정한 행렬 A의 Trace값을 기호로는 $trace A$ , $tr(A)$ 로 표기하게 됩니다
■ $trace A$의 성질■
(1) $tr(A \pm B) =tr(A) \pm tr(B)$
(2)$ tr(aA) = atr(A)$
(3)$tr( A^{T})=tr(A) $
(4)$tr(AB)=tr(BA)$
(5)$tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA) \neq tr(CBA)$
(5)단위행렬 과 대각행렬
대각 원소 성분 이외의 행렬의 원소들이 모두 0인경우 우리는 이를 대각행렬이라고 일컫습니다.
여기에 더 나아가서 정방행렬의 대각원소들이 모두 1이고 다른 원소들은 모두 0일때 이를 단위행렬이라고 합니다
$ \begin{pmatrix}
a_{} & 0_{} & 0_{}\\
0_{} & b_{} & 0_{}\\
0_{} & 0_{} & c_{}
\end{pmatrix} $
-대각 행렬 예시 -
$ \begin{pmatrix}
1_{} & 0_{} & 0_{}\\
0_{} & 1_{} & 0_{}\\
0_{} & 0_{} & 1_{}
\end{pmatrix}$
-단위 행렬 예시-
(6)영행렬
행렬의 모든 성분이 0일때 우리는 이 행렬을 영행렬이라고 합니다.
$ \begin{pmatrix}
0_{} & 0_{} & 0_{}\\
0_{} & 0_{} & 0_{}\\
0_{} & 0_{} & 0_{}
\end{pmatrix} $
(7)행렬의 상등
두 행렬의 형태가 같고 대응하는 원소가 서로 같을때 두 행렬을 서로 상등하다(같다)라고 합니다
[행렬의 기본연산]
(1)행렬의 덧셈,뺄셈,상수배
●행렬의 덧셈●
※행렬의 덧셈은 같은 구조이어야 합니다
※ 행렬의 덧셈은 같은 위치에 대응되는 원소끼리 직접 더하면 됩니다
A =$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$ , B = $ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} $이라고 한다면
A + B = $ \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+ b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{pmatrix} $
A - B = $ \begin{pmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12} -b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22}-b_{22}\end{pmatrix} $
●행렬의 상수배●
※행렬의 각 원소에 해당 실수배를 각각 하면 됩니다
A= $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$ 라고 한다면
kA=$\begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ka_{21} & ka_{22}\end{pmatrix}$ 가 됩니다.
●기본법칙●
기본 교환 결합 법칙이 성립하며
다른 대수학의 기본 법칙과 궤를 같이하는 경우가 많은 것 같습니다
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
k(lA) = (Kl)A
(K + l)A=kA + lA
k(A + B)=kA + kB
1A=A , (-1)A=-A
kO = O , 0A = O